Geboren wurde Rudi Anschober am 21. November 1960 in Wels in Oberösterreich. Nach dem Gymnasium in Vöcklabruck besuchte Anschober von 1980 bis 1981 die Journalistenschule der Handelskammer in Linz und anschließend bis 1983 die Pädagogische Akademie in Salzburg. Anschober war Journalist bei diversen Printmedien sowie Vertragslehrer beim Amt der oberösterreichischen Landesregierung.
Von 1986 bis 1990 war der Politiker Sprecher der Grünen Alternative Oberösterreich, danach bis zum Jahr 1997 Abgeordneter zum Nationalrat und Atom-, Verkehrs- und Sicherheitssprecher der Grünen. Im Nationalrat engagierte sich Anschober als Umwelt- und Anti-Atom-Kämpfer. Seit Oktober 1997 ist Anschober Landtagsabgeordneter und Klubobmann der Grünen in Oberösterreich.