Der Schatten der Normalität

24. Februar 2009, 18:37
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Die Auflösung der Singularität: Ein großes mathematisches Rätsel

Was haben ein Stanitzel mit Eis, eine Zitrone oder ein Zirkuszelt gemeinsam? Nicht viel, könnte man meinen - und irrt dabei gewaltig. Es handelt sich in allen drei Fällen um "räumliche" Objekte, deren Oberfläche fast überall glatt ist, aber eben nur fast: Die Objekte haben einige wenige Spitzen, Ecken und Kanten. Ein Phänomen, das man in der Mathematik als Singularität oder als Katastrophe bezeichnet.

Die Auflösung der Singularitäten ist seit gut 150 Jahren eines der Hauptprobleme der algebraischen Geometrie. Mathematiker wissen, stark vereinfacht gesprochen: Eine glatte Fläche zu quetschen bedeutet auch, Ecken und Kanten zu erhalten. Aber entstehen alle Singularitäten auf diese Weise? Der Japaner Heisuke Hironaka, Träger der Fields-Medaille, einer Art Nobelpreis der Mathematik, konnte Mitte der 1960er-Jahre genau das beweisen. Er zeigte: Jedes Gebilde mit Singularitäten ist der Schatten von ebenmäßigen Objekten. Mit einem biegsamen Draht oder einem Kabel lässt sich das sehr gut illustrieren: Durch Drehen und Biegen entsteht noch keine Ecke oder Kante, der vom Licht geworfene Schatten zeigt aber bei richtigem Winkel eine Spitze.

Das einzige Manko an Hironakas Beweis: Er gilt nur für "Charakteristik Null", das ist etwa die Hälfte der Fälle. Warum kommt es bei den anderen 50 Prozent zu Singularitäten? Ein mathematisches Rätsel, das Herwig Hauser seit den 1990er-Jahren beschäftigt. Um es zu studieren, musste er aber erst Hironakas Beweis verstehen. Er hat den 200 Seiten starken Text des Japaners gelesen, ihn seziert und irgendwann wohl auch begriffen: Ansonsten wäre es ihm gemeinsam mit einem spanischen Geometer wohl nicht gelungen, eine Art Destillat zu schreiben. 20 Seiten umfasst Hausers Beweis.

Auch wenn der Fall von "Charakteristik ungleich Null" deshalb noch nicht geknackt ist, wurden durch Hauser wichtige Vorarbeiten dazu geleistet. Eine Forschung, die das renommierte Clay Mathematics Institute so beeindruckte, dass man Hauser als ersten Österreicher einlud, im Rahmen einer zweitägigen Konferenz (4. und 5. Mai in Cambridge, USA) über die Auflösung der Singularitäten zu sprechen. Das Clay Mathematics Institute vergibt Preise für die Lösung berühmter mathematischer Rätsel. Wenn man bedenkt, dass Singularitäten in der Mathematik auch als Katastrophen bezeichnet werden, dann hat die bisherige Beweisführung über ihre Auflösung sehr wohl philosophische Aspekte: Jede Spitze ist der Schatten einer glatten Kurve, jede Singularität der Schatten eines ebenmäßigen Verlaufs, jede Katastrophe der Schatten der Normalität. (pi, DER STANDARD, Print-Ausgabe, 25. Februar 2009)

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