Vom Versuch, Singularitäten aufzulösen

25. November 2008, 18:42
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Die Mathematikerin Dominique Wagner erzählt von ihrer Forschungsarbeit im Bereich Algebraische Geometrie

Die algebraische Geometrie ist ein Teilgebiet der reinen Mathematik, das, wie der Name bereits andeutet, die abstrakte Algebra mit der Geometrie verknüpft. Sie untersucht Nullstellengebilde von polynomialen Gleichungen, sogenannte algebraische Varietäten.

Bereits in der Schule trifft man auf erste Varietäten, etwa den Kreis: Algebraisch lässt sich ein Kreis als die Menge aller Punkte (x,y) beschreiben, deren x- und y-Koordinaten die Gleichung x2+y2=1 erfüllen. Viele Eigenschaften des Kreises kann man unmittelbar aus seinem geometrischen Bild ablesen: Er ist glatt (das heißt, er hat keinerlei Ecken) und völlig symmetrisch. Ziel der algebraischen Geometrie ist es, derartige geometrische Eigenschaften in die Algebra zu übersetzen, um im Falle komplizierter Varietäten - wo jegliche grafische Methode versagt - rein mit Methoden der Algebra analoge geometrische Aussagen treffen zu können.

Dies klingt sehr abstrakt, hat aber viele Anwendungen im modernen Alltag, so etwa bei mechanischen Systemen wie Robotern und Flugsimulatoren oder seit kurzem auch in der Biochemie.

Das Hauptaugenmerk meiner Untersuchungen gilt den Singularitäten einer algebraischen Varietät, das heißt, jenen Punkten der Varietät, bei denen sie lokal, nicht glatt, sondern spitz, scharf oder kantig aussieht. Ein Beispiel dafür ist etwa die Spitze eines Kegels.

In den Anwendungen erzeugen Singularitäten meist negative Effekte auf das Gesamtsystem. Bewegt sich etwa ein Roboterarm, dessen Menge aller möglichen Positionen im Raum üblicherweise eine Varietät bildet, in eine Singularität, so kann er brechen oder nicht mehr weiter steuerbar sein.

Schattenbildung

Durch theoretische Überlegungen sollen derartige Probleme vermieden werden. Dies geschieht unter anderem durch die sogenannte Auflösung von Singularitäten. Dabei versucht man eine gegebene singuläre Varietät als "Schatten" einer anderen, nichtsingulären Varietät darzustellen. Die Schattenbildung soll hierbei die wichtigsten Eigenschaften der Nullstellenmenge erhalten. So lässt sich etwa der singuläre Kegel als "Schatten" des glatten Zylinders beschreiben, wenn man sich vorstellt, dass man den Zylinder in der Mitte wie mit einem Lasso "zusammenzieht".

Im Allgemeinen ist es jedoch schwierig, eine singuläre Varietät als "Schatten" einer glatten Varietät darzustellen. Der bisher größte Fortschritt an diesem mehr als 100 Jahre alten Problem gelang dem japanischen Mathematiker H. Hironaka in den 1960er-Jahren - der Beweis der Existenz der Auflösung von Singularitäten über Zahlkörpern der Charakteristik 0.

Seitdem beschäftigen sich zahlreiche Mathematiker mit offenen Fragen auf diesem Gebiet, etwa der expliziten Konstruktion von Auflösungen. Das größte noch offene Problem stellt jedoch der Beweis der Existenz über Körpern mit positiver Charakteristik, die etwa in der Verschlüsselung von Daten eine große Rolle spielen, dar. Hier gibt es nur wenige Teilresultate, und das Problem ist für allgemeine algebraische Varietäten bis heute ungelöst.(Dominique Wagner/DER STANDARD, Printausgabe, 26.11.2008)

  • Zur PersonDie 26-jährige Autorin hat seit 2007 eine Postdoc-Stelle an der Fakultät für Mathematik der Uni Wien inne und erhielt das "For Women in Science"-Stipendium.
    foto: privat

    Zur Person
    Die 26-jährige Autorin hat seit 2007 eine Postdoc-Stelle an der Fakultät für Mathematik der Uni Wien inne und erhielt das "For Women in Science"-Stipendium.

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