Das Un(be)rechenbare berechnen

Innsbrucker Mathematiker haben Singularitäten ins Visier genommen und für Aufsehen in der Fachwelt gesorgt

Innsbruck/Wien - Mit einer neuen Methode zur Berechnung von so genannten Singularitäten, Stellen etwa an geometrischen Figuren, die gleichsam völlig aus der Reihe tanzen, erregen Wissenschafter des Instituts für Mathematik der Universität Innsbruck derzeit in der Fachwelt Aufsehen. Sie verkürzten die Rechenmethoden zur Beschreibung derartiger Singularitäten erheblich. Waren bisher rund hundert Seiten für die Beweisführung nötig, sind es jetzt nur noch sieben.

Singularitäten sind Stellen, die sich völlig anders verhalten, als die Umgebung. In der Physik werden damit etwa Orte bezeichnet, an denen die herkömmlichen Naturgesetze nicht zu gelten scheinen. Der Urknall ist beispielsweise eine solche Besonderheit. In der Mathematik sind Singularitäten häufig anzutreffen.

Knifflige Stellen

So kann - als willkürliches Beispiel - die Bewegung eines Roboterarmes mittels einer geometrischen Figur dargestellt werden. Das Objekt ist dabei größtenteils über mathematische Formeln einfach zu beschreiben, es ist "glatt wie die Oberfläche von Seifenblasen", erklärte dazu der Innsbrucker Mathematiker Herwig Hauser. Ausnahmen sind aber Kanten (Linien) und Spitzen (Punkte) in der Figur.

Dort wird es mathematisch schwierig und erst in den sechziger Jahren gelang es dem japanischen Mathematiker Heisuke Hironaka, die speziellen Stellen über einen Trick zu berechnen. Er betrachtete nämlich die Figur mit der Singularität einfach als Schatten einer hypothetischen Figur ohne eine solche Besonderheit.

Dazu müssen die Forscher gleichsam einen Schwenk durch verschiedene Dimensionen vollziehen - in der Mathematik ist dies ohne Probleme möglich, denn nur der vom Menschen wahrgenommene Raum ist auf drei Dimensionen reduziert. Der Mathematiker rechnet also quer durch die Dimensionen, so lange, bis aus dem "singulären Schatten eine glatte Raumkurve" entstanden ist. Anhand der glatten Raumkurve kann dann über Umwege die Singularität berechnet werden.

Zu komplex

Der Nachteil von Hironakas Methode war ihre Komplexität, nämlich zweihundert Seiten stark. Im Laufe der achtziger Jahre konnte die Sache dann auf rund hundert Seiten reduziert werden, mit dem Ansatz der Innsbrucker Wissenschafter konnte der Aufwand abermals erheblich, nämlich auf rund 25 Seiten reduziert werden. Dabei findet der eigentliche Beweis sogar auf nur sieben Seiten Platz.

Die Mathematiker bewerkstelligten die Vereinfachung, indem sie die Ausgangssituation komplizierter darstellen, als bisher üblich. Ob die Methode durch die Vereinfachung nun auch in Ingenieurstechnik Einzug halten wird, bleibt abzuwarten. Anwendungsmöglichkeiten gäbe es viele. (APA/red)