Wiener Forscher präsentieren Methode zur Berechnung komplexer Systeme

29. April 2014, 11:38
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Erfüllen Systeme drei Voraussetzungen, können die Forscher Aussagen über die Wahrscheinlichkeit ihres Zustands machen

Wien - Seit Ludwig Boltzmann kann man mit Hilfe der Statistik von Atomen die Eigenschaften von Gasen vorhersagen. Exakt gelingt das aber nur in sehr einfachen Systemen ("ideales Gas"). Komplexere Systeme entziehen sich bisher weitgehend entsprechenden Vorhersagen. Wiener Forscher haben nun im Fachjournal "PNAS" eine Methode zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Zustands komplexer Systeme vorgestellt.

Verteilungsfunktion

Laut Zweitem Hauptsatz der Thermodynamik streben abgeschlossene Systeme, in denen physikalische Prozesse ablaufen, größter Unordnung zu, was als "maximale Entropie" bezeichnet wird. Ist diese erreicht, ist das System im Gleichgewicht. Der Vorteil solcher Systeme, die diesem "Maximum-Entropie-Prinzip" folgen: "Man kann sich ausrechnen, also vorhersagen und verstehen, wie die Verteilungsfunktion und damit die Wahrscheinlichkeiten in diesem System aussehen", so der Physiker Stefan Thurner vom Institut für Wissenschaft von komplexer Systeme an der Medizinischen Universität Wien.

Für vergleichsweise einfache Systeme wie ein "ideales Gas", wo Atome wie Kugeln ohne Wechselwirkung herumflitzen, gibt es im Prinzip nur zwei große Klassen von Verteilungsfunktionen: die Exponentialfunktion (Boltzmann-Verteilung) und die Gauß-Kurve. Es existieren aber viele andere, deutlich kompliziertere Systeme, etwa die Regenhäufigkeit in Österreich, die Überlebenswahrscheinlichkeit bei einem Gehirntumor oder die Wahrscheinlichkeit einer Zugsverspätung.

Die Verteilungsfunktionen von solchen komplexen Systemen sehen völlig anders aus. Zum Beispiel ist bei der Berechnung des Zustands solcher Systeme - im Gegensatz zur Exponentialfunktion und Gauß-Kurve - die Wahrscheinlichkeit relativ groß, dass große Werte herauskommen. "Die Wahrscheinlichkeit etwa, dass ein Zug um Stunden verspätet ist, ist gar nicht so klein", so Thurner.

Suche nach Schlüssel

Seit Jahrzehnten wird versucht, solch komplexe Systeme zu berechnen, schließlich können sie auch schwerwiegende Auswirkungen haben: beim Regen zum Beispiel Überschwemmungen oder im Finanzsektor ein Börsencrash. "Das Problem ist, dass man die Verteilungsfunktionen solcher Systeme nicht wirklich versteht und es vor allem kein Prinzip gibt, wie man damit systematisch umzugehen hat", so Thurner. "Wenn man ein Maximal-Entropie-Prinzip hätte wie es Boltzmann für das ideale Gas formuliert hat, würde man verstehen wie man auf diese Verteilungsfunktion kommt. Das wäre ein Schlüssel, komplexe Systeme nachhaltig zu managen."

Und genau nach diesem Schlüssel suchen Thurner und seine Kollegen gemeinsam mit US-Physiknobelpreisträger Murray Gell-Mann seit einigen Jahren - nun offenbar mit Erfolg. Dabei werde die Frage, ob komplexe Systeme grundsätzlich auch eine Form von Entropie maximieren können, seit mehr als 50 Jahren kontroversiell debattiert, so der Physiker.

Klar sei, dass "das sicher nicht die gleiche Entropie sein kann wie jene von Boltzmann". Deshalb habe es in den vergangenen Jahrzehnten jede Menge Versuche gegeben, alternative Entropien vorzuschlagen. "Da gibt es inzwischen einen ganzen Zoo von rund 50 verschiedenen Entropien, die in einem System funktionieren, in anderen aber nicht", so Thurner.

Drei mathematische Axiome

In ihrer nun veröffentlichten Arbeit haben die Wissenschafter drei mathematische Axiome formuliert, sozusagen Voraussetzungen für komplexe Systeme. Wenn diese erfüllt sind, und das ist bei vielen komplexen Systemen der Fall, dann streben auch diese einem Entropie-Maximum zu.

Mit den von ihnen vorgeschlagenen Axiomen bringen die Wissenschafter auch Ordnung in die bisherigen Entropien. "Der ganze Zoo an vorgeschlagenen Entropien sind Sonderformen von der von uns formulierten Entropie. Mit einem Prinzip kann man nun plötzlich Dutzende Phänomene beschreiben, die vorher völlig unabhängig waren", so Thurner.

Dieser mathematisch-physikalische Erfolg hat praktische Konsequenzen: "Wir können nun alle möglichen Verteilungsfunktionen beschreiben, die komplexe Systeme produzieren können und damit Aussagen über die Wahrscheinlichkeit ihres Zustands zu einem bestimmten Zeitpunkt treffen - sofern das System die drei Voraussetzungen erfüllt", so Thurner. "Das ist ein vollständiger Lückenschluss - das was Boltzmann für das ideale Gas gemacht hat, ist nun erweitert auf fast alle komplexen Systeme". (APA/red, derStandard.at, 29.4.2014)

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